地球上で自分1人だけが問題を解けたら、偏差値は◯◯万だ

こんにちは、服部です。

テレビのクイズ番組では、頭がいい人の肩書きでよく「偏差値100!」などと煽っています。なかなか出ない数字だからこそ、強さの証として通用する数字ですね。

しかし、誰しも強みや得意分野というのを持っているもの。何かで新発見をしたり世界一になったら、そんな偏差値も取れてしまうのかもしれません。

自分だけが解ける問題

いま、地球上の75億人に対して、1問100点で全1問の100点満点のテストを出したとしましょう。

ひょんなことから「自分だけがわかる問題」が出題されたとしたら、自分だけが100点で、ほか75億人は0点という状況が起こり得ます。どんな問題かは別として……。

この、自分が100点、ほか75億人が0点であるときの偏差値は、いくつになるのでしょうか。

偏差値の計算方法

数学が苦手な方はこの項は飛ばしてかまいません。

偏差値はどう求まっているのか、理解したい人は多いでしょうから、それなりに丁寧に説明していくつもりです。それでも「数学がとてつもなく苦手」という人は、下のほうの計算結果まで飛ばしてください。

そもそも偏差値は、下の画像の計算式から求められます。

Xに「自分の得点」を、μ(ミュー)に「平均点」を入れる、という説明まではみなさんもわかると思います。では、その分母にある「σ(シグマ)=標準偏差」はどうでしょうか。

標準偏差とは、言うなれば「みんながどれくらい平均点から離れているかの平均」です。平均点に近い得点の人が多ければ小さく、平均点から遠く離れた得点の人が多ければ大きくなります。

正確には「分散の平方根」が標準偏差となるので、単に距離を平均するだけではありませんが、イメージしやすい説明はこんなところでしょうか。

つまるところ偏差値とは、「平均点のときに50に、全員の得点の”平均点からの距離の平均”と同じだけ平均より高い点のときに60(低い点のときに40)になる」ように換算した数値です。

さて、改めて計算式を見てみると、自分の点数が平均点と同じであったり、標準偏差がどんどん大きくなっていくと、偏差値は50に近付きます。

逆をいえば、「自分の点数が平均から遠く離れている(Xがμよりとても大きい/小さい)」かつ「標準偏差が小さい(σが小さい)」ほど、偏差値が大きく/小さくなることがわかります。

これに従うと、「自分が100点で、ほか70億人が0点」のときの自分の偏差値は、とんでもなく高くなることが期待できそうですね。

上の説明にあるように、偏差値というのは周りの得点に大きく左右される指標です。自分が平均を大きく上回ったとしても、ほかに平均を大きく上回った人がたくさんいれば、偏差値はそれほど上がりません。逆にいえば、平均を大きく上回れる人が少ないテストで平均を大きく上回る点を取れば、簡単に偏差値は上がります。

テレビで紹介される「偏差値○○!」というのは、それがどんな受験者層のテストで出た数値かによっては、実はそれほど凄くはない可能性もあるのです。

で、結果は?

計算式の文字に当てはめる数を求めていくと、平均点μは「100 ÷ 7500000001=およそ0.00000001333……」、標準偏差σはおよそ0.00115470053……。

ここから計算すると、75億人が0点で自分だけ100点をとったときの偏差値はなんと、866075。

偏差値100なんて目じゃない!

ちなみにこのテストでは、0.0000000133 + 5 × 0.00115470053…… = 「およそ0.005773515点をとると、偏差値100を叩き出せてしまいます」。100点満点のテストで1点未満でも偏差値100とは、これ如何に……。

君も今日から偏差値86万!

これは簡単に示せることですが、「自分以外の75億人全員が0点」という条件が変わらないと仮定すると、自分の点数がどんな正の数であっても、偏差値は86万6075で変わりません。

つまり、「自分だけが問題を解いて、世界中の他の人は誰も解けない」とか、「自分だけが1回成功して、他の人は1回もできない」ような偉業を成し遂げたら、それは偏差値86万6075と言えないこともありません。

もちろん、なんでも偏差値を計算してくればよいという話ではないでしょう。しかし、何か「自分にはできて、他の人には一切できないこと」を探してきて「偏差値86万」を自称してみるのも、話のタネにはいいかもしれません。

東大経済学部4年・クイズ研究会所属の服部と申します。知識も経験もまだまだ浅い青二才ではありますが、学びと発見への新たな入口の1つとしてお手伝いできればと思います。よろしくお願いいたします。

 

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