選挙の当確、出るの早くない?

コジマです。

衆議院が解散され、投開票は今月(10月)22日に迫っている。

開票の日にはあらゆるテレビ局が特番で結果を知らせる。選挙の度、私はあることを思うのである。

それは開票開始の瞬間。全国で開票が始まってものの数分で各地の候補者に「当確」、すなわち当選確実の報が出るのを見ては「いやいや早すぎでしょ?」となる。

当然、5分そこらで数万とある票を全て確認できるわけはない。それでもなお「○○さんが当選確実です!」と言い張れる理屈は何なのか。

誰かの勘で決めているわけでも、下馬評が高かったから……でもなく、そこにはれっきとした裏付けがある。


当選が確実ということは、ある候補者への票が過半数を占めることが確実、ということ。

具体的に、全体での得票率が60%だったとしよう。票が全部で1000票投じられたとすれば、その候補者への票は600票入っている。過半数を超えているので、もちろん当選である。

さてここで、「”全ての票がしっかり混ざっていて”、ランダムに100票を調べれば、57票なのか62票なのかは分からないが「およそ60票(100票の60%)」になるはず」というのは直感的に分かるだろう。

一方、10票調べたら、一番ありそうな6票以外にも、5票だったり7票だったりになる可能性が高いだろう。10票を見ただけでも全数での値に近づくことはできるが、割合的には50%や70%に振れうる。

すなわち、
・「開いて調べた割合」は「真の得票率」に近く、
・そのブレ(大きく外れる確率)は開く票が増えるほど小さくなる

本当の得票率を60%としたとき、10票、50票、100票開けた時点での得票率の確率分布。確率なのに1を超える理由は高校数学の範囲を超えるので割愛

これを曲線で表すとこんな感じ。見方を説明しよう。
まず、先程述べた1000票中600票という前提を思い浮かべてほしい。この真実に、なるべく少ない開票数でたどり着くことが今回の目的だ。

例えば、開票した時に見える得票率が40%である確率は、10票開けたときにはそこそこに高いが、50票開けるとその半分以下となり、100票開ければほとんどゼロとなる。
1000票すべてを開ければ、得票数はかならず600となり、得票率は60%だ。

すなわちこの図では、票を開ければ開けるほど、その時点で開けた票の中での得票率が、真の値である60%に近づいていくことを示している。

何票か開けてみたときの得票率を横軸、その得票率になる確率を縦軸にとったとき、投票総数が多い場合、グラフはきれいな山型を描くとされている(これを正規分布という)。

開ける票を増やせば増やすほど「本当の得票率」になる確率が上がり、大きく外れる確率が下がるという訳だ。

統計学ではこの正規分布を用いて確実さを測ることがよくある。今回の場合、「これ以上外れることは○○%ない」というラインを引き、そのラインが50%より高いとき当確とすればよい。

細かい計算過程は記事の下部に記すので、気になるかたはそちらを見てほしい。ここでは大まかな流れを先に説明することにする。

今ここで、「これ以上外れることは97.5%ない」というラインを求めることにしよう。

横軸がn(開けた票)、縦軸がr(途中の得票数)。nが大きいほど判定ラインが下がる

上の図は、97.5%の確率で「当確」と言えるようになるラインを、オープンする票数とその中での得票率の対応で描いたものである。

例えば、100票開けたときに60票がAさんの票であれば、Aさんは97.5%の確率で過半数の支持を集め、当確となる。

面白いのは、票の総数が1万だろうが10万だろうが、100票開けて60票取っていれば当確がつくところ。

開票者が10人なら、1人あたり10票見れば100票開けられる。開始数分で当確が出る訳である。

 

当確を出すのは各報道機関なので、実際この判定基準が使われているかは分からない。ただ、大まかな理屈は同じのはずだ。

今回の選挙で当確が出たときは、得票率とこの記事を読み比べてみてほしい。


※細かい統計学的説明

具体的に、「95%ない」ラインでやってみる。「本当の得票率」をR、「n票開けた時点の得票率」をrとすると、Rは次のような範囲に95%納まる(これより大きく/小さくなる確率はそれぞれ2.5%しかない)。

「1.96」という数字は正規分布の性質による。この範囲の下限についてみれば、これが50%より高ければ当確だから

rがこの条件を満たせば当確だ。これを整理すると、rのnについての条件は上の図のようになる。

※上の図が95%ではなく97.5%となるのは、本当の得票率Rが範囲より大きい側にブレることは、当確を出すにあたって問題ないからである。

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