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問題の解説

第1問【勾配9%】

勾配とは道路の傾きのこと。「9%」という数字は、100m水平に進んだときに何m登る(あるいは下る)かを示しています。

なので、傾き45度の坂があると、100m進むうちに100m登るので、勾配100%となります。もちろんとてもドライブできない傾きですね……。

勾配9%というと、角度的には5度くらいに相当します。9度ではないのがミソですね。

実はこの勾配の考え方は、三角関数、サイン・コサイン・タンジェントのタンジェントに相当しています。

詳しく言うと、tan 45°が1、tan 5°が約0.087 (約8%)というように、角度から勾配の数字を計算できるのがタンジェントというものだったのです。

第2問【速度メーター】

例えば500kmの道のりを5時間で行ったら、平均の速さは100km/hだと人間にも計算できますが、刻一刻と変わる自動車の速度はどのように計算されているのでしょうか?

速度メーターは、タイヤがどれくらいの速さで回転しているかをみて速度を計算しています。

タイヤの外周が1mで、1秒に10回転していれば、その車は秒速10m、変換すると時速36kmで走っていることになります。

「一瞬一瞬の速度を求めるためには、短い時間での移動距離を知ればよい」ということですね。

この考え方は実は「微分」であるといえます。微分積分の微分です。今の考え方の「短い時間」を0まで突き詰めていくのが微分の考え方です。

「車の速度計って微分なんだ!」というのは、それなりに正しい考えです。名前だけ有名な微分積分もこう考えると身近に思えてきませんか?

第3問【カーブ「R=500」】

「R=500」というのは、「半径500mの円と同じくらいの曲がり方のカーブですよ」ということです。↓こんな感じ。
※R=Radius(半径)

もちろん円の半径が大きくなるほど、カーブはゆるくなり、半径が小さくなるほどカーブはきつくなります。

なので答えは「ゆるくなる」でした。

このRのことを数学的には「曲率半径」といいます。曲がっている率を示す半径ってことですね。

曲率半径も、実は微分を使って計算できます。微分積分は便利なんですね。

「R=500」という看板を見つけたら、「半径500mの円だー」と思いながら運転してみてください。夢中になりすぎて事故をおこさないでくださいね!

第4問【GPS】

GPSは人工衛星との距離を測って位置を計算しています。

例えば衛星1と通信して、自分の車との距離が1000kmと出たとしましょう。でも、衛星1との距離が1000kmの地点は地球の表面上にたくさんあります。

具体的には、下の図の緑の円のように存在します。

なので1台の衛星では位置が全然わかりません。では2台ならどうでしょう?緑の衛星1と赤の衛星2を使うと……。

緑と赤の円が交わる点が2個あるので、やはりまだ位置を特定できていません。青の衛星3まで使ってようやく1箇所にわかるということです。

ということで答えは3台でした!

実際には、精度をより上げるなどの目的で、4つ以上の衛星が使われることも多くあります。

たかが1台のGPSにもたくさんの衛星が働いているということですね。

第5問【インターチェンジのカーブ】

インターチェンジによくあるぐるぐるしたカーブ、あれは「クロソイドカーブ」といいます。

その特徴は、ハンドルを一定の速度で切ると曲がれるということにあります。ハンドルを切るのが楽、曲がるのが楽ということです。

安全に運転できるように、カーブ1つでも数学的によく考えられているということですね。

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この記事を書いた人

鶴崎 修功

つるさき・ひさのり です。東京大理学部数学科の3年生です。 10月19日に放送されたTBS「東大王」にて、ありがたくも優勝しました。 人生における経験を広く含めた「学び」こそが善だと思って生きています。たいそうなことをいいましたが、知ることが好きというだけです。 私と読者の皆さんが一緒に知に触れていけるような記事を書きたいと思っています。

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