【祝100回】中学受験レベルの「正三角形」の超難問、あなたは解ける？

ステップ2：分割してできた三角形の面積を求める

ステップ1までで、正三角形ABCを100cm²の三角形3つと、正三角形PQRに分割しました。ここからは正三角形PQRの面積を求めていきます。

ここからしばらくは、三角形APCの部分についてのみ考えます。

三角形APCの中には、同じ長さの線分がいくつもあります。これらを駆使すると、複数の三角形の面積比がわかります。

まずは、三角形APQを構成する三角形PARとPQRについて。PからAQに向かってAQと垂直な線PSを引くと、AQを底辺として見たとき、ARとRQの長さが等しく、どちらも高さは線分PSとなっています。

ここで、三角形の底辺の長さと高さ、面積について成り立つ以下の関係性を使います。

この関係を使うと、三角形PARとPQRの面積は等しいことがわかります。

次に、三角形APCを構成する三角形APQとAQCについて。PCを底辺としてみると、PQとQCの長さが等しくなっています。

また高さについては、三角形PQRが正三角形であること、および三角形RAPが二等辺三角形であることから角APCの大きさは90度と求められ、三角形APCが直角三角形、すなわちAPが高さにあたることがわかります。

したがって先ほどのhow to solveで示した関係を使うと、三角形APQとAQCの面積は等しくなります。

以上をふまえると、三角形PARと三角形PQRの面積比が1：1で、それらを足し合わせてできる三角形APQと三角形AQCの面積比が1：1なので、三角形AQCの面積は、三角形PQRの面積の2倍であることがわかります。

そして、三角形AQCの面積は100cm²であるとわかっているので、正三角形PQRの面積は、その半分の50cm²です。

ようやく、正三角形PQRの面積を求めることができました！　総仕上げへと参りましょう！

ステップ2の冒頭で、正三角形ABCは100cm²の三角形3つと、正三角形PQRで構成されていると説明しました。正三角形PQRの面積は50cm²なので、正三角形ABCの面積は、100×3＋50=350cm²となります。

答え：350cm²

ここまで長かったですね……！本当にお疲れさまでした！　解けた方も解けなかった方も、数日後に解けるかどうか復習してみてくださいね！

今回出題した問題を、東大の大学院で博士号（数理科学）を取得した鶴崎に解いてもらいました。